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📜 [專欄新文章] Uniswap 解析:恆定乘積做市商模型 Constant Product Market Maker Model 的 Vyper 實作
✍️ 田少谷 Shao
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在 🦄 Uniswap v2 到來之前徹底了解 v1 的設計與演算法!
Image source: https://uniswap.org/
Outline
一. 前言二. 恆定乘積做市商模型 Constant Product Market Maker Model 1. 計入手續費 2. 程式碼結構 3. 演算法核心與實作 4. 段落小結三. 流動性 Liquidity 1. 第一筆流動性注入、決定k值 2. 除了第一筆以外的情況四. 結語
一. 前言
暨上一篇開始接觸了 Vyper 後,我找了 Uniswap 的程式碼來更加熟悉 Vyper 的實作方法,順便研究了其演算法,然後就又寫了一篇 xD
類 Python 的合約語言 Vyper 開發入門:與 Solidity 差異、用 Truffle 部署、ERC20 賣幣合約實做
Uniswap 是以太坊上非常成功的自動做市商 Automated Market Maker (AMM)。本次我將用的 Uniswap 的程式碼搭配由 Runtime Verification 這家審計公司對 Uniswap 所做的形式化驗證結果來解釋恆定乘積做市商模型的 Vyper 實作 (2018 審計時 Uniswap 就已經是用 Vyper 而非 Solidity 了):
智能合約程式碼:https://github.com/Uniswap/uniswap-v1/blob/master/contracts/uniswap_exchange.vy
合約審計結果:https://github.com/runtimeverification/verified-smart-contracts/blob/master/uniswap/x-y-k.pdf
本文將以講解實作概念及數學推導為重點,程式碼的部分只是輔助。審計結果將恆定乘積做市商模型演算法的數學推導寫得非常清楚而有趣(?),建議有興趣者可以整份看過一遍,相信得到很多收穫!
至於更多 Uniswap 的介紹有興趣者可以參考 吳冠融 Roger Wu 所撰寫的簡介與使用流程:
解析 DeFi 項目《Uniswap》(一)Uniswap 是什麼?
解析 DeFi 項目《Uniswap》(二)Uniswap 如何使用?
在開始前的最後,先預告本文頗長,所以來播個被 Youtube 推薦的歌吧:
二. 恆定乘積做市商模型 Constant Product Market Maker Model
交易所如果要去中心化、也不使用掛單 order book,就需要靠演算法自動算出交易標的的數量與價格,而 Uniswap 使用名為恆定乘積的演算法,其來源可追溯自 Vitalik 的這篇文章:點我。
公式非常的簡單:x * y = k。令交易的兩虛擬貨幣為 X 和 Y,各自數量為 x 和 y,兩貨幣數量的乘積 x * y 恆等於 k,k 值是由第一筆注入的流動性所決定 (於 三. 流動性 Liquidity 解釋)。
因此,用 ∆x 數量的 X 幣來購買 Y 幣所能得到的數量 ∆y、或是為了購買 ∆y 需要付出的 ∆x 數量,依照此公式進行計算:(x+∆x)(y-∆y) = k,而交易的價格就是兩幣量 ∆x 和 ∆y 的比。
以下公式用 α = ∆x / x 和 β = ∆y / y 來表示 ∆x 和 ∆y 及 X Y 兩幣在交易發生後的新均衡數量:
圖一
1. 計入手續費
在 Uniswap 進行的每一筆交易都會被收取 ρ = 0.003 / 0.3% 的手續費回饋給流動性提供者 liquidity provider ,因此要將手續費納入公式的考量:
圖二
上圖的公式或許不太直覺,我建議不要從 x’ρ 及 y’ρ 開始理解,而是從 ∆x 和 ∆y 兩值開始:手續費 ρ = 0.3% 的意思是會從付款中扣掉 0.3 %,也就是從 ∆x 扣。在有手續費的情況下 ∆x 就變成了 (1-ρ)∆x ,若令 γ = 1-ρ 則為 γ∆x。因此,將圖一中的 ∆x 換成 γ∆x,就會得到以下式子:
source: https://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php
將等號左方的 γ 移到右方後就得到了圖二中的 ∆x。同理,由於 ∆y 中的 α = ∆x / x ,用 γ∆x 代換 ∆x 就會得到圖二中的 ∆y (有 α 的地方乘上 γ )。而 x’ 還有 y’ 就可以由 ∆x 和 ∆y 推出來了!
然而,將圖二中得到的 x’ 和 y’ 相乘,會得到:
source: https://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php
也就是說,當有手續費使得 γ != 1 /ρ != 0,x’ρ * y’ρ 的值其實會稍微和 xy = k 不同:在實作上 γ = 0.997 / ρ = 0.003,因此 1/γ-1 ≒ 0.003。β = ∆y / y 代表的是換得的 Y 幣佔總量的比例,即使最大值為 1,誤差也只有 1 * 0.003,故可知手續費 = 0.3% 對於 k 值的影響極小。
2. 程式碼結構
了解了基本的公式後,就可以開始研究程式碼是怎麼撰寫的。首先來看各個函式的功能:
addLiquidity() 及 removeLiquidity():轉入與轉出資金,留到 三. 流動性 Liquidity 中說明
getInputPrice() 及 getOutputPrice():最主要的函式,用以計算給 ∆x 所能換得的 ∆y 數量、以及為了得到 ∆y 所要支付 ∆x 的數量。此兩函式會被其他負責進行交易、匯幣的函式使用
三組 (eth->Token, Token->eth, Token->Token) 的 swap() 及 transfer():swap() 的收幣人就是付款人、transfer() 的收幣人不是付款人而是指定的對象。基本上這兩函式就是呼叫 getInputPrice() 或是 getOutputPrice() 後進行匯幣的動作,因此不再多做解釋
3. 演算法核心與實作
在研讀程式碼前,先回顧一下 ∆x 和 ∆y 的公式:
首先我們考慮用 ∆x 所能購買到的 ∆y 的 getInputPrice():
什麼…就這幾行程式碼?是的。
以上的程式碼和公式表達方式不同,因此先將 α = ∆x / x 和 β = ∆y / y 代換回來並將上下同乘 x:
source: https://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php
由於 γ = 0.003,可以將上下同乘 1000 後得到:
source: https://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php
接著就能來對照程式碼了:
(109行) numerator: input_amount 是欲支付的 X 幣數量 ∆x、output_reserve 是 Y 幣數量 y,再乘上 997 後就是等式右邊的上方 (= 997∆xy)
(110行) denominator: input_reserve 是 X 幣的數量,乘上 1000 再加上剛剛算過的 997∆x,就得到了等式右邊的下方 (= 1000x + 997∆x)
此處要注意的是 Vyper 的除法是無條件捨去,等同於 floor() 函式。這會不會造成嚴重的影響呢?如果熟悉 ERC20 的人應該記得,在發幣時輸入的四個參數中有一個參數代表小數點的位數,如同下方程式碼中的 2 代表最後兩位在小數點後。舉例來說,當 getInputPrice() 收到 1234567 為這個幣的 input_amount 時,代表使用者擁有的幣的數目實際上是 12345.67。因此,即使將結果捨去 0.67 後的數字,影響真的不大,況且如果不捨去而選擇無條件進位,那代表交易所反而要虧損一點點啦,太佛心了吧 xD 有興趣者可以看看審計報告的內容,有更詳細地去定義這些誤差所影響的範圍!
再來我們看若要購買 ∆y 需要付出多少 ∆x 的 getOutputPrice()。
一樣先將 α = ∆x / x 、β = ∆y / y 和 γ = 0.003 代換並上下同乘 1000y 得到:
source: https://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php
我們已經看過 getInputPrice() 一次了,所以應該能發現第 122–124 行得出的結果和上式相同。要注意的是這邊的結果反而是無條件捨去後直接 +1,因為這是在計算使用者要付多少 ∆x 才能購買到 ∆y,為了不讓交易所虧只能選擇請使用者多付一點點。
4. 段落小結
以上就是撇除匯幣等函示,恆定乘積做市商的 Vyper 實作,沒錯就這樣而已!Uniswap 之所以可以做到低 gas 消耗就是因為這個演算法本身就非常簡單,所需的運算也就是兩三次乘除法而已!
不過我們還沒結束,接下來要談談如何投入資金/注入流動性,而這部分也包含了決定 k 值的精妙機制!
三. 流動性 Liquidity
流動性指的是交易市場中能夠交易的資金/標的物的量。使用自動做市商 (AMM) 而非掛單的最大好處就是市場一定會有流動性,而缺點就是如果交易量越大就會造成越大的滑點 Slippage,意思就是交易價格變動會越大、得到的價格越差 。
source: https://ethresear.ch/t/improving-front-running-resistance-of-x-y-k-market-makers/1281
我們可以用上面提到的 V 文章中的圖片來迅速帶過,畢竟有關注 Uniswap 的讀者大概都已經看過這圖很多次了。
當要兌換的幣的數量越大/占比越重,例如:20% Y 幣的流動性,就會造成要付出比兌換少量時極為不對稱的高額 X 幣。
接著我們要來探討注入流動性的原則,依照市場是否已經有流動性而區分為兩種情形:
1. 第一筆流動性注入、決定 k 值
以下程式碼是 addLiquidity() 函式中 46-48, 51, 及 64-74 行。當市場上還沒有任何流動性時,不會滿足第 51 行而是進入 64 行的 else。
在第 65 行我們可以看到 msg.value ≥ 10¹⁰,以及在 67 行 token_amount 就是其中一個輸入值 max_tokens。這邊代表的是第一個注入流動性的使用者可以自行決定要注入多少 Ether (≥ 10¹⁰) (= x) 以及相應的幣的數量 (= y),也就是上方提到的 k 值 (= x* y),在本例的 X 幣就是 Ether。(本處先不解釋剩餘的程式碼,留到 2. 除了第一筆以外的情況)
那麼問題來了:第一個注入流動性的人要怎麼決定提供各自多少的兩種幣呢?最好的辦法是依照當時兩幣的市價比,讓兩者的價值 (數量 * 價格) 相同,例如:當 1 Ether 的價格為 100 Dai,注入 1 Ether 以及 100 Dai 是最好的,因為兩種幣的總價值是一樣的,以下舉例說明原因。
當 1 Ether 市價為 100 Dai 時,假設第一人決定注入 1 Ether 和 50 Dai (k = 50),總價值為 150 Dai,我們考慮兩種兌換方法:
Ether -> Dai:用 0.1 Ether 來購買 Dai,依照上方公式 (1+0.1)(50-y) = 50 可得 y ≒ 4.55,也就是說得到的價格是 0.1 Ether = 4.55 Dai,遠低於市價 0.1 Ether = 10 Dai,相信沒有人這麼傻~
Dai -> Ether:用 2 Dai 來購買 Ether,依照上方公式 (1-x)(50+2) = 50 可得 x ≒ 0.038,也就是說得到的價格是 2 Dai = 0.038 Ether,高於市價 2 Dai = 0.02 Ether,那麼眼尖的人就會立刻衝來套利了xD
那麼即使如此,第一人有所損失嗎?當然有!假設路人 A 手上有 30 Dai (= 0.3 Ether),A 看到機會後就把 30 Dai 全換成 Ether:(1-x)(50+30) = 50 可得 x = 0.375,大於原本持有的 Dai 的價值 0.3 Ether。此時,第一人即使立刻抽出現存的全部資金 Ether = 0.625 及 Dai = 80,總價值也只剩下 142.5 Dai,比起原本的 150 Dai 還少。以上的計算還有手續費沒有納入考量,但也只有 30 Dai 的 0.3% = 0.09 Dai。
由上例可知,第一位提供流動性的人為了避免自己的損失,確實得依照當時兩幣的市價比去提供相應的數量。傑克,這真是太神奇了0…0
2. 除了第一筆以外的情況
如果市場已經有流動性,使用 addLiquidity() 來注入流動性就會進入第 51 行的 if。
source: https://github.com/Uniswap/uniswap-v1/blob/master/contracts/uniswap_exchange.vy
(53行) eth_reserve: 由於使用者已經透過函式 addLiquidity() 將錢匯入了合約,因此將合約所擁有的 Ether 數量 self.balance (= x + ∆x) 減去使用者匯入的錢 msg.value (= ∆x),得到使用者匯錢之前合約內所擁有的 Ether 數量 (= x)
(54行) token_reserve: self.token 是一個餵入幣地址的 ERC20 instance;透過呼叫 ERC20 的函式 balanceOf() 即可查出合約所擁有的 Y 幣的數量 (= y)
(55行) token_amount: 透過將合約所擁有的 Y 幣的數量 token_reserve (= y) 乘上使用者匯入的錢 msg.value (= ∆x) 對合約原本擁有的Ether 數量 eth_reserve (= x) 的比例,代表使用者應該相應地注入多少 Y 幣 (∆y = y * ∆x / x)。除法一樣是無條件捨去
(56行) liquidity_minted: 將原本交易所中的總流動性 total_liquidity 乘上增加的比率 msg.value / eth_reserve (= ∆x / x) ,代表增加的流動性,隨後會在第 58 行記錄下來
(60行) transferFrom() 函式將使用者應付的 Y 幣數量 token_amount (= ∆y) 匯入當前合約,就完成了流動性的注入。小提示:智能合約中的 assert() 會確保函式內的條件如果失敗就整筆交易 transaction 直接取消,因此只要傳入的參數已經被計算好,於 60 行再進行 transferFrom() 其實與放在前面並沒有太大的差別
以上就是注入流動性的大致實作內容。取出資金 removeLiquidity() 其實與 addLiquidity() 的做法大同小異,因此就不再贅述。
四. 結語
呼,真的累。恆定乘積做市商模型的概念雖然簡單,但解釋起來還是挺複雜的!其實本文並未著墨於審計報告中的主要議題:評估因為整數除法 (不使用浮點數) 而造成的誤差範圍,因為講起來非常複雜、也不是真的這麼需要知道。不過,恰巧就是這些程式碼的細節有可能讓程式產生預期之外的結果!因此,對於有興趣了解該如何去分析智能合約整數除法的讀者,可以研究一下;而 Uniswap 的程式碼因為是用 Vyper 實作,可讀性非常高、同時也不難,因此也非常值得打開來看看、甚至動手實作自己的版本!
最後,如果本文有任何錯誤,請不吝提出,我會盡快做修正;而如果我的文章有幫助到你,可以看看我的其他文章,歡迎一起交流 :)
田少谷 Shao - Medium
Uniswap 解析:恆定乘積做市商模型 Constant Product Market Maker Model 的 Vyper 實作 was originally published in Taipei Ethereum Meetup on Medium, where people are continuing the conversation by highlighting and responding to this story.
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【我愛馬前炮】專欄
#K線收十字小紅線~中繼?轉折?
美股四大指數震盪收黑,對昨日甫創新高的台股帶來壓力,加權指數以平低盤開式後,一度呈現榮景攀升至10400整數關卡,卻如曇花一現般稍縱即逝,當下技術性調節賣壓的湧現,使得盤勢倒栽蔥的快速回落至週一低點10343,才吸引投機性買盤進場支撐及反向拉抬指數自低點回升,但在連續假期將至的中場起,市場觀望氣氛轉趨濃厚,指數於盤下狹幅整理,總的來說,今天是一個沉悶的盤勢,也是一個多空短兵相接,只能以高空低買的操作因應,才能在有限的空間內創造超額利潤,遺憾的是在實際交易的三月台指期部份,追漲殺跌的現象反而更加明顯,台指期早盤開高來到昨日尾盤跌破10358,出現當沖第二式賣出訊號後的反彈安全空點10378上下,只要有當沖四是買賣訊號浮現後,熟知正確使用方法的人,提供了賺錢的良機,但一些人可能受到眼前榮景的迷惑,錯失了賺錢的良機,問題在於行情在狹幅整理後反轉跳水式的往下,09:21摜破昨日低點10336來到10325,那一分鐘成交口數暴增了2826口(今日一分線最大量),那是一個明顯的破線追殺動作,也是傷害的開始,如您所知,那一分鐘起行情自低點翻揚後,直到收市,在09:21那一分鐘追殺的人,都沒能有從容脫身的機會,讓人不禁要問~為甚麼有那麼多人會同時選在那一分鐘,有志一同的進場追空呢?坦白說,我無法理解。
這個星期只有短短三個交易日,而且行情還限縮在狹隘的空間內,所以一些人不是作壁上觀,就是隨勢而為,但前者用看的是賺不到錢的,後者可能因隨勢而為,付出了超額代價,相信這都不是我們要的結果,可是說實話只要方法對,每天都是送分題,就像昨前兩日跟大家報告~(台指期的短線價差操作,當盤中一分線忽然爆出大量時,只要閉著眼睛進場反向操作,就能輕鬆賺錢,而且屢試不爽,至於為甚麼要閉著眼睛,就是為了避免我們眼見為實,而犯下追漲殺跌的錯誤),以今天09:21跌到10325為例,是今日一分線最大量,是不是閉著眼睛反向買進,就能輕鬆賺錢?
盤勢分析~今日大盤在美股表現不彰的拖累下,中止了連七漲的多頭走勢,K線在昨日呈現開高走低放量的小黑線後,今日拉回週一低點10343後反向走揚,收了一根帶有42點下影線的十字紅線,乍看之下,是一根逢低買盤對抗技術性賣壓,調整完成後的強勢整理K線,但換個角度觀察,大盤這兩天能創高並維持高姿態整理,實拜陸股強拉猛攻所賜,問題在於陸股漲相驚人的同時,台股卻停滯不前,固然可簡單的用市場先清浮額再落後補漲解讀,但之前陸股還沒大放異彩時,大盤都一路不回頭的“驚驚漲”了,這時為甚麼在陸股的加持下反而未有寸進呢?其實從昨日最後一盤成交量放大至92億,指數卻於高點回落至平盤位置可一窺端倪,點數雖不多,但無法掩蓋逢高調節賣壓實質存在的事實,而在行情上漲近1100點卻未有明顯拉回整理的情況下,逢高賣壓當然會逐步增強,雖然趨勢持續向上沒有任何回頭跡象,但以此波自9319回升,如是建立在前波於11261跌至9319後的B波反彈行情的話,以黃金分割率反彈0.618計算反彈點位為~(11261-9319)=1942,(1942x0.618)+9319=10519,以及年線10479都近在眼前的情況下,就算這兩天籌碼沉澱後再更上層樓,也只是空間有限的中繼整理而已,更何況在行情漲了1097點後,就算餘波盪漾,只能樂觀其成而不用在這個時間點,硬要跟別人搶得一席之地,要知道股市還有很多不同的時間都可提供逢低買進的機會,如此又何必急於當下呢?而在台指期15分線部份,從昨尾盤的兩根黑線,將短期趨勢硬坳往下後,型態上轉換為迷你型“頭肩頂”格局 ,今日破昨低後未再進一步沉淪,是市場更細膩的轉換為“雙頂單肩”型態,如此在短線價差操作,從 “高出低進”到“ 突破跟進”,都需在適當的時機進行,方能達到輕鬆賺錢的目的(歡迎直接加入LINE@,每日提供台指多空轉折點,多空關鍵點及盤中“當沖四式”買進或賣出訊號 ) 。
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